基石：利普希茨连续性
为了控制误差的传播，我们需要一个函数 $f(t, y)$，它不会出现过大的跳跃。这一性质由 利普希茨条件。
若在集合 $D \subset \mathbb{R}^2$ 上存在常数 $L > 0$，使得函数 $f(t, y)$ 关于变量 $y$ 满足利普希茨条件，则有：
$$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| \le L|y_1 - y_2|$$
对所有 $(t, y_1), (t, y_2) \in D$ 成立。该常数 $L$ 是函数垂直变化的“速度限制”。
示例 1：分析利普希茨常数
考虑函数 $f(t, y) = t|y|$ 在区域 $D = \{(t, y) \mid 1 \le t \le 2, -3 \le y \le 4\}$ 上的情况。根据中值定理（或绝对值的性质）：
$|f(t, y_1) - f(t, y_2)| = |t|y_1| - t|y_2|| = |t| \cdot ||y_1| - |y_2|| \le |t| \cdot |y_1 - y_2|$。
由于在该区域内 $t$ 的最大值为 2，因此利普希茨常数为 $L=2$。
区域几何完整性
我们无法在充满“洞”的区域中求解初值问题。我们需要 凸性。
若对于任意两点 $(t_1, y_1)$ 和 $(t_2, y_2)$，其连线段满足：
$$((1 - \lambda)t_1 + \lambda t_2, (1 - \lambda)y_1 + \lambda y_2)$$
其中 $\lambda \in [0, 1]$，且该线段也包含在 $D$ 内。这确保了求解路径不会“离开”有效计算区域。
存在性与唯一性定理
当这些条件同时满足时，我们引用 定理 5.4：若 $f$ 在凸集 $D$ 上连续并满足利普希茨条件，则初值问题 $y' = f(t, y), y(a) = \alpha$ 具有 唯一 解 $y(t)$。这解释了为何像欧拉法（$w_{i+1} = w_i + h f(t_i, w_i)$）这样简单的算法，以及预测-校正逻辑这样复杂的算法都是合理的：
$WC = w_{i-1} + \frac{h}{24}[9f(t_i, WP) + 19f(t_{i-1}, w_{i-1}) - 5f(t_{i-2}, w_{i-2}) + f(t_{i-3}, w_{i-3})]$。